• 如何更好的理解的Chapter2.1
  • 概念
    • Transformation
    • Null Space
    • Range
    • Nullity
    • Rank
    • Dimension Theorem
    • Example

如何更好的理解的Chapter2.1

概念

Transformation

中文名是 变换，英文简称是T 先看书上定义： $\color{#FF0}{V}$ 和 $\color{#0F0}{W}$ 是 $\color{#0FF}{F}$ 上的Vector Space

1. 比如 一个向量 $\vec{a_1} = (1 ,2 ,3)$ 变成 $\vec{a_2} = (2,4,6)$ 就是一个变换（向量里面每个值*2）。 此时 $\color{#FF0}{V}$ 就是 $\color{#FF0}{R^3}$， $\color{#0F0}{W}$ 就是 $\color{#0F0}{R^3}$， $\color{#0FF}{F}$ 自然就是实数了 $\color{#0FF}{R}$ 。这里的公式可以写成： $T:\color{#FF0}{R^3} \rightarrow \color{#0F0}{R^3}$ 同时 $T(\vec{a_1}) = \vec{a_2}$

2. 当然，也可以变成 $\vec{a_3} = (1,2)$。这个就是变换把一个三维的变为了一个二维向量了。此时 $\color{#FF0}{V}$ 就是 $\color{#FF0}{R^3}$， $\color{#0F0}{W}$ 就是 $\color{#0F0}{R^2}$， $\color{#0FF}{F}$ 自然就是实数了 $\color{#0FF}{R}$ 。 这里的公式可以写成： $T:\color{#FF0}{R^3} \rightarrow \color{#0F0}{R^2}$ 同时 $T(\vec{a_1}) = \vec{a_3}$

这里就有一个linear transformation的概念，就是说这个Transformation T 不是可以计算 $\color{#FF0}{V}$ 里面的向量么？只要满足对 $\color{#FF0}{V}$ 里面所有的向量（此处用 $\vec{x} ~ \vec{y}$ ）都可以这么写：

1. $T(\vec{x}+\vec{y}) = T(\vec{x}) + T(\vec{y})$

2. $T(c\vec{x}) = cT(\vec{x}), c \in \color{#0FF}{F}$

这个变换就叫做linear transformation，比如我们以刚刚那个 $\vec{a_1} = (1 ,2 ,3)$ 变成 $\vec{a_2} = (2,3,4)$ 的变换举个例子。我们随便从 $\color{#FF0}{V}$ 也就是 $\color{#FF0}{R^3}$ 取两个vector, 分别是 $\vec{x} = (1,1,1)$ 和 $\vec{y} = (2,2,2)$ 当然 $\vec{x}+\vec{y} = (3,3,3)$ 。然后你看， $T(\vec{x} + \vec{y}) = (6,6,6)$， $T(\vec{x}) = (2,2,2)$ ， $T(\vec{y}) = (4,4,4)$ 加起来就是 $(6,6,6)$ 你看就是 $T(\vec{x} +\vec{y})$ 对吧。同理对第二个式子也成立，所以这个把一个向量里面每个值都乘以2的这个Transformation，就是一个Linear Transformation。

• Linear Transformation的本质

  对于向量运算来说 $\color{red}{所有的~Linear~Transformation~本质上就是一个矩阵！}$

  这就涉及到为什么书上不这么说了，因为只是对于向量来说每一个T就是可以等价为一个矩阵，但是毕竟我们的Space不一定是矩阵呀。所以才要用一个抽象的T来代替。你需要把T理解为一种运算，矩阵只是一种其中一种针对vector的运算。

  毕竟你说一个Matrix乘一个vector 变成另外一个vector 这个不就和 一个数 x 在函数 f(x) 作用下变成 y 一个意思么？对吧。所以一个T也可以理解为一个function

  我们就从这个角度开始看接下来的东西，首先解释一下为什么就是一个矩阵，pdf上P77 (书上P65)有一个 Example，如下：

  

  当然这道题是让你证明这个Transformation是Linear的。你看呀，这个是一个二维vector到二维vector的变换对吧。我们假设有个向量 $\vec{x} = (a_1, a_2)$，那么这个Transformation等价于在这个vector之前给他乘以了一个矩阵：

  $$\left ( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right ) \left ( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix}\right ) = \left ( \begin{matrix} 2a_1 + a_2 \\ a_1 \end{matrix}\right )$$

  你看是不是，把 $a_1$ 变成 $2a_1+a_2$ 然后把 $a_2$ 变成 $a1$ 是吧。于是，所有的Linear Transformation 都本质上是一个Matrix！

  比如，针对下图的几个Transformation：

  

  其中T不久分别是

  $$\left ( \begin{matrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{matrix}\right ) \left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right ) and \left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right )$$

  所以！以后看到Linear Transformation就可以想到这是一个Matrix！

Null Space

这个中文叫做零空间，不过这个不重要。这个Null Space是干嘛的呢，就是对一个Linear Transformation T 假设有一个 vector $\vec{x}$ 都可以有 $T(\vec{x}) = \vec{0}$ 也就是说 所有被这个T变换之后等于零向量 $\vec{0}$ 的所有 $\vec{x}$ 的Space，就叫做 Null Space。例如：

就用上面那个Example-1的例子：

此时假设 $\vec{x} = (a, b)$ 然后列方程：

算出来 $a=0, b=0$ 所以这个方程只有一个解，也就是 $\vec{x} = (0, 0)$ 所以这时候，说明 T 的解空间就只有一个值 $\vec{x} = (0, 0)$ 此时这个只有一个 0 的空间的维数 毫无疑问就是 0。这里记作T的Null Space是 $\color{teal}{N(T)}$

Range

这个中文叫作值域，一个Linear Transformation的Range，也就是一个Matrix的Range。

不是 $T: V \rightarrow W$ 么，其中对所有的 $\vec{x} \in V$ ，所有的 $T(\vec{x})$ span的space 就是这个 T 的 Range。 Range是一个 Space。记作 $\color{#0FF}{R(T)}$ 。比如，

$T: V \rightarrow W$ 其中 $(\beta_1,\beta_2,\beta_3,\ldots,\beta_n)$ 是 $V$ 的一组 basis，那么这些basis不是经过T的变换变成了 $(T\beta_1,T\beta_2,T\beta_3,\ldots,T\beta_n)$ 了么？这些作为basis ``span的一个新的space就叫做T的Range。

Nullity

刚刚我们说到零空间 Null Space 对吧，这个是一个 Space 所以是有 Dimension 维数 的是吧。那么这个 Null Space 的 Dimension 就是叫做 Nullity 中文叫做 零化度。记作 $\color{teal}{\dim(N(T))}$

Rank

刚刚我们说到值域 Range 对吧，这个也是要给 Space 所以也是有 Dimension 维数 的，于是 Null Space 的 Dimension 就是叫做 Rank 中文叫做 秩。 记作 $\color{#0FF}{\dim(R(T))}$

Dimension Theorem

这个中文叫做 秩-零化度定理，解释的就是上面几个概念之间的联系。

这句话翻译一下就是： 一个变换 零空间的维数 + 这个变换 值域 的 维数 等于 这个变换作用的Vector Space的维数。

Example

下面我们针对上面的Dimension Theorem举一个小例子。

比如就是很简单的的一个变换 $T:R^3 \rightarrow R^3$ （三维向量 到 三维向量），这个变换的作用是使得

第一步：由于 $V = R^3$ 所以 $\color{red}{\dim(V) = 3}$ 这个是肯定的对吧。

第二步：求Null Space 和 Nullity

可以得出：

其中 $a_3$ 可以是任何实数，所以这个Null Space 就是 $\left ( \begin{matrix} 4a_3/3 \\ a_3/3 \\ a_3 \\ \end{matrix}\right )$ 所包含的所有向量的Space 这是一个一维Vector Space 因为这个Space的Basis的数量就1 因为这里面所有的vector都是由 $(\frac{4}{3},\frac{1}{3},1)$ span 而成的。

所以 $\color{red}{\dim(N(T)) = 1}$

第三步：求Range

对于 $V = R_3$ 其中一组basis可以是

经过 T 变换后得到

这3个vector是我们要求的range的一个basis 但是我们注意到 $(4,0,-12) = 4(-2,2,8) + (-4,-8,4) \rightarrow linear ~ dependent!$

所以实际上这个 range的 的一个 basis 只需要是

因为这个range的basis的数量就是2 因为这个 space 里面所有 vector 都是由 上面两个vector span 而成的。

所以 $\color{red}{\dim(R(T)) = 2}$

综上，你看这个Example里面的3个红色的部分：

是不是 $\dim(N(T)) + \dim(R(T)) = \dim(V)$ ?