2.5 Exercise (P128-P131)

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题目

For each matrix A and ordered basis $\beta$, find $[L_A]_ \beta$. Also, find an invertible matrix $Q$ such that $[L_A]_ \beta = Q^{-1}AQ$

(a) $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$ and $\beta = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}\right\}$

(b) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$ and $\beta = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}\right\}$

(c) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ and $\beta = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}\right\}$

(d) $A = \begin{pmatrix} 13 & 1 & 4 \\ 1 & 13 & 4 \\ 4 & 4 & 10 \\ \end{pmatrix}$ and $\beta = \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\right\}$

解答

这道题每一问分成两部分，其中第一部分是计算 $L_A$ 第二部分是计算一个新的矩阵 $Q$。首先看第一部分。

Let $\alpha$ be the standard basis (of $\mathbb{F}^2$ or $\mathbb{F}^3$).

We have that $A = [L_A]_ \alpha$

这个是来源于 Theorem 2.15 (P105), 这个定理是这么说的：

Theorem 2.15. 如果 $A$ 是一个 $m\times n$ 在 $F$ 上的 Matrix。那么 left-multiplication transformation $L_A:F^n \rightarrow F^m$ 是 Linear 的。同时，如果我们还有一个 $m \times n$ 的另一个 Matrix $B$。然后 $\beta$ 和 $\gamma$ 分别是 $F^n$ 和 $F^m$ 的 standard ordered bases，则有如下性质:
(a) $[L_A]_ \beta^\gamma = A$
(b) $L_A = L_B$ if and only if $A = B$
(c) $L_{A+B} = L_A + L_B$ and $L_{\alpha A} = \alpha L_A$ for all $\alpha \in F$
(d) If $T: F^n \rightarrow F^m$ is linear, then there exists a unique $m \times n$ matrix $C$ such that $T = l_C. In fact, $C = [T]_ \beta^\gamma$
(e) If $E$ is an $n \times p$ matrix, then $L_AE = L_A L_E$
(f) If $m=n$, then $L_{I_{n}} = I_{F^n}$

所以，有一个重点就是：一个矩阵 A 和 left-multiplication 的关系，在这里，只有我们确定了 standard basis 我们才能说 A 和 L_A 相等，也就是这个定理的 (a)。

hence $[L_A]_ \beta = [I]_ \alpha ^\beta [L_A]_ \alpha [I]_ \beta ^\alpha$. So now we can calculate $[L_A]_ \beta$ and $Q = [I]_ \beta ^\alpha$ and $Q^{-1} = [I]_ \alpha ^\beta$

这里是关键，其中要用到 Theorem .23 (P124)，这个定理是这么说的:
$T$ 是一个 finite-dimensional vector space $V$ 的 linear operator，并且 $\beta$ 和 $\beta'$ 是两个 $V$ 的 ordered bases。假设一个 Matrix $Q$ 是 change of coordinate matrix 这个 Matrix 是从 $\beta'$-coordinates 到 $\beta$-coordinates。那么就有如下公式成立：

$$[T]_ {\beta'} = Q^{-1}[T]_ {\beta}Q$$

这个定理的意义在于，我们不是知道一个 T 在两个 basis 下的矩阵么？那么这两个矩阵是什么关系呢？就是找到以这两个 basis 为基底的两个坐标系的变换矩阵(change of coordinate matrix)，就能求出两个 T 的数学关系。

由于 $[I]_ \beta^\alpha$ 是以 $\beta$ 为 basis 的 Matrix 所以不太好求，我们先求 $[I]_ \alpha^\beta$

而 $[I]_ \alpha^\beta$ 就是 $\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}\right\}$ 用 $\alpha$ 表示的 Matrix，因为 $\alpha$ 就是 standard basis，所以：

而 $[I]_ \beta^\alpha$ 就是这个的 invertible matrix 所以算一下：

所以