• 1.1 - 2.2 主要定义、定理备忘录
  • 1.1 Introduction
  • 1.2 Vector Space
    • Definitions
    • Theorem
    • Corollary
  • 1.3 Subspace
    • Definitions
    • Theorem
    • Corollary
  • 1.4 Linear Combinations and Systems of Linear Equations
    • Definitions
    • Theorem
    • Corollary
  • 1.5 Linear Dependence and Linear Independence
    • Definitions
    • Theorem
    • Corollary
  • 1.6 Bases and Dimension
    • Definitions
    • Theorem
    • Corollary
  • 2.1 Linear Transformations, Null Spaces and Ranges
    • Definitions
    • Theorem
    • Corollary
  • 2.2 The Matrix Representation of A Linear Transformation
    • Definitions
    • Theorem
    • Corollary

1.1 - 2.2 主要定义、定理备忘录

1.1 Introduction

略

1.2 Vector Space

Definitions

• Vector Space (P18)

Theorem

• 1.1. Vector 加法消去律 (P23)
• 1.2. 有关 $\vec{0}$ Vector 的性质 (P24)

Corollary

• 1. Vector Space 中 $\vec{0}$ Vector 是唯一的 (P23)
• 2. Vector Space 中 任何向量都是唯一的 (P24)

1.3 Subspace

Definitions

• subspace (P28)

Theorem

• 1.3. Subspace 的 充分必要条件 (P29)
• 1.4. Subspace 的 交集也是 Subspace (P31)

Corollary

1.4 Linear Combinations and Systems of Linear Equations

Definitions

• Linear Combination (P36)
• span P(42)
• spans (generates) (P42)

Theorem

• 1.5. Vector Space 任何一个 Subset 的 span 都是这个 Space 的 Subspace，并且 Vector Space 如果包含这个 Subset 那么一定包含这个 Subset 的 Span (P42)

Corollary

1.5 Linear Dependence and Linear Independence

Definitions

• Linearly Dependent (P48)
• Linearly Independent (P49)

Theorem

• 1.6. $V$ 是一个 Vector Space 并且 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$ ，如果 $S_1$ 是 linearly dependent 那么 $S_2$ 也是 (P51)
• 1.7. $S$ 是 Vector Space $V$ 的一个 linearly independent subset 并且有一个 vector $\vec{v}$ 在 $V$ 但是不在 $S$ 里面，那么 $S \cup{\{\vec{v}\}}$ 是 linearly dependent 当且仅当 $\vec{v} \in span(S)$ (P51)

Corollary

• 1. $V$ 是一个 Vector Space 并且 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$ ，如果 $S_2$ 是 linearly independent 那么 $S_1$ 也是 (P51)

1.6 Bases and Dimension

Definitions

• basis (P55)
• Dimension (P58-P59)

Theorem

• 1.8. basis 成立的条件 (P55)
• 1.9. vector space 有 finite basis 的条件 (P56)
• 1.10. Replacement Theorem 替代定理 (P57)
• 1.11. Subspace 和 Vector Space 维数的关系 (P62)

Corollary

• 1. basis 数量都相同 (P58)
• 2. N-dimension Vector Space 性质 (P59-P60)
• 3. Subspace 的 basis和 Vector Space 的 basis 的关系 (P63)

2.1 Linear Transformations, Null Spaces and Ranges

Definitions

• Linear Transformation Form (P77)
• Null Space (Kernel) (P79)
• Range (Image) (P79)
• Nullity (P81)
• Rank (P81)

Theorem

• 2.1. $N(T)$ 和 $R(T)$ 都是 subspace (P80)
• 2.2. $R(T)$ 和 $V$ 的 basis 的关系 (P80)
• 2.3. Dimension Theorem (P82)
• 2.4. 一个 $T$ 是 one-to-one 的条件 (P83)
• 2.5. 一个 $T$ 是 linear 的等价说法 (P83)
• 2.6. 一个 $V$ 的 basis 都可以被正好一个 $T$ 成 $W$ 里面的对应的值 (P84)

Corollary

• 1. 两个 Transformation 相等的条件 (P85)

2.2 The Matrix Representation of A Linear Transformation

Definitions

• ordered basis (P91)
• standard ordered basis (P91)
• coordinate vector (P92)
• matrix representation of $T$ in the ordered bases (P92)
• Transformation Addition (P94)
• Transformation scalar multiplication (P94)
• $\mathcal{L}(V,W)$ (P94)

Theorem

• 2.7. 两个 Transformation 相加后 加法和数乘性质 (P94)
• 2.8. 两个 Transformation 运算之后的 coordinate 的关系 (P94)

Corollary